NÚMERO QUÂNTICO SDCTIE GRACELI.

ONDE OCORREM VARIÁVEIS CONFORME O SISTEMA SDCTIE GRACELI, COM VARIÁVEIS DO PRÓPRIO SISTEMA SDCTIE GRACELI, COMO VERREMOS ABAIXO.

 TERMOESTADOS TRANSICIONAIS DE GRACELI NO SDCITE GRACELI, 

POSTULADO GENERALIZADO.

OU TERMODINÂMICA PARA ESTADOS TRANSICIONAIS DETERMINAM QUE TODOS OS FENÔMENOS TERMODINÂMICOS E QUÂNTICOS VARIAM CONFORME AS VARIAÇÕES TÉRMICAS, OS TIPOS DE ESTRUTURAS E TIPOS DE ENERGIAS ESPECIFICAS PARA CADA TIPO DE ESTRUTURA, E VARIAM CONFORME AS ESPECIFICIDADE PARA ESTADOS TRANSICIONAIS QUÂNTICOS, DA MATÉRIA, 

OU SEJA, SE TEM UM RELATIVISMO E UM INDETERMINISMO GENERALIZADO. TANTO PARA A FÍSICA QUÂNTICA, ENERGIAS, TERMODINÂMICA, ELETR MAGNETISMO, CAMINHOS E MOVIMENTOS BROWNIANOS, ESTRUTURA DO ÁTOMO, NUMERO E ESTADO QUÂNTICO, E OUTROS FENÔMENOS.

VEJAMOS PARA ALGUNS ESTADOS FÍSICOS E SUAS TRANSIÇÕES E FENÔMENOS TERMODINÂMICOS.

  TEORIA GRACELI DOS ESTADOS TRANSICIONAIS POTENCIAIS RELATIVOS INDETERMINADOS NO SDCTIE GRACELI.

O ESTADO DE ENERGIA ELETROMAGNÉTICO DOS FÓTONS, E OUTRAS ESTADOS FÍSICOS E QUÂNTICOS.

CONFORME AS ESPECIFICIDADES ENVOLVENDO O SDCTIE GRACELI, SE EM VARIAÇÕES DIFERENCIADAS PARA CADA TIPO DE ESTRUTURA DE MATÉRIA E ENERGIA, E FENÔMENOS. E CONFORME O SDCTIE GRACELI.

OU SEJA, VARRIAM DE ESTRUTURAS E RELAÇÕES COM ENERGIAS E FENÔMENOS, FORMANDO UM SISTEMA DE INFINITAS E ÍNFIMAS DIMENSÕES.

 TEORIA GRACELI DA TRANSFORMAÇÃO NO SDCTIE GRACELI

 TEORIA GRACELI DA TRANSFORMAÇÃO NO SDCTIE GRACELI.

TODA E QUALQUER FORMA DE TRANSFORMAÇÃO OCORREM CONFORME O SISTEMA SDCTIE GRACELI.

QUE SE FUNDAMENTA EM:

TODO E QUALQUER TIPO DE ESTRUTURA, E ENERGIA SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÃO CONFORME O SDCTIE GRACELI

 A LÓGICA QUÂNTICA SDCTIE GRACELI SE FUNDAMENTA EM CINCO PILARES DA FÍSICA E FILOSOFIA DESENVOLVIDOS POR GRACELI.

QUE SÃO DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, PODENDO CHEGAR A MAIS DE QUARENTA.

QUE SE FUNDAMENTA EM DIMENSÕES DA MATÉRIA E DIMENSÕES DE PROCESSOS FÍSICOS, QUÍMICO, E QUE TAMBÉM PODE SER ENVOLVIDO NA BIOLOGIA QUÂNTICA.

OU SEJA, NÃO SÃO DIMENSÕES DO ESPAÇO E TEMPO.

OU SEJA, TRATA DE CAPACIDADES ENVOLVENDO A MATÉRIA E AS ESTRUTURAS, COM SUAS INTERAÇÕES ENERGIAS, FENÔMENOS E ESTADOS FÍSICOS, TRANSICIONAIS E ESTADOS POTENCIAIS DE GRACELI.

CATEGORIAS DE GRACELI.

QUE TRATA DAS CATEGORIAS DE GRACELI.

QUE SÃO TIPOS, NÍVEIS OU INTENSIDADE OU QUANTIDADE, POTENCIAIS OU CAPACIDADES, E TEMPO DE AÇÃO, O TEMPO DE AÇÃO NÃO SEGUE UMA LINEARIDADE, OU SEJA, O TEMPO DE UM PROCESSO X NO INÍCIO, NÃO TEM OS MESMOS FENÔMENOS E INTENSIDADE NO TEMPO Y NO FINAL DE UM PROCESSO, ISTO EM TODAS AS ÁREAS DA FÍSICA E SEUS RAMOS, QUÍMICA E BIOLOGIA FÍSICA.

ESPAÇO E ESTADOS TRANSICIONAIS E POTENCIAIS DE GRACELI.

QUE TRATA DAS CONDIÇÕES E POTENCIALIDADES DE TRANSIÇÕES ENTRE ESTADOS E ESPAÇOS DE GRACELI, ASSIM, COMO SEUS POTENCIAIS [ESTADOS POTENCIAIS].

INTERAÇÕES .

QUE TRATA DO UNIVERSO DE INTERAÇÕES NO SISTEMA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

E QUE ENVOLVE TAMBÉM INTERAÇÕES DE ESPAÇO E TEMPO, CAMPOS, ENERGIAS, E ESTRUTURAS ELETRÔNICAS, E OUTROS.

TRANSFORMAÇÕES.

ONDE AS TRANSFORMAÇÕES DETERMINAM O UNIVERSO DINÂMICO E VARIACIONAL DE TODO SISTEMA.

OU SEJA, TOO X SERÁ OUTRO X, NO TEMPO FUTURO, MESMO O TEMPO NÃO EXISTINDO COMO COISA EM SI. 

ONDE AS DIMENSÕES PODEM VARIAR DE DEZ ATÉ MAIS DE QUARENTA.

E QUE SE FUNDAMENTA NA FUNÇÃO GERAL:

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll  *  D
           

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

Termodinâmica estatística ou mecânica estatística^{[notas 1]} é um ramo da física que une as propriedades macroscópicas e microscópicas da matéria demonstrando e interpretando atomicamente alguns porquês da termodinâmica como trabalho, calor, energia livre e entropia. Por trabalhar com um número extenso de entidades microscópicas (átomos, moléculas ou íons), faz uso de mecânica clássica, mecânica quântica e do ferramental matemático da estatística, esta última utilizada principalmente para determinar os valores médios das populações.

A quantidade requerida de informações para descrever uma partícula, átomo, molécula ou íon (no contexto da mecânica clássica) implica o estabelecimento de 6 coordenadas para cada uma das entidades microscópicas (3 posições e 3 velocidades), o que representa um número expressivo de dados quando levamos em conta um número relativamente grande de entidades como um mol (6,022x10²³), por exemplo.

A termodinâmica estatística possui uma capacidade de previsão das grandezas macroscópicas por trabalhar com os dados espectroscópicos de moléculas individuais, apresentando assim uma vantagem nesse quesito com relação à termodinâmica clássica. Ambas, porém são regidas pela segunda lei da termodinâmica por meio da entropia. No entanto, a entropia em termodinâmica clássica só pode ser conhecida empiricamente, enquanto que na mecânica estatística, é uma função da distribuição do sistema nos seus microestados.

A termodinâmica estatística é então, uma ponte que explica a termodinâmica clássica (que analisa a parte sensível aos sentidos, ou seja, pressão, temperatura...) utilizando-se da mecânica quântica (que trabalha com a parte atômica, ou seja, colisões intermoleculares, velocidades dos átomos, equipartição da energia...) da mecânica clássica (de onde vem a definição de momento, força, trabalho) e da estatística (utilizada para se obter sistemas simplificados sem a perda da confiabilidade).

Aplicações

Representação esquemática do comportamento de um gás ideal.

A termodinâmica estatística, pode ser usada para explicar diversos fenômenos físicos do cotidiano, dentre os quais a dedução da lei dos gases ideais, a transferência de calor entre dois corpos e a troca de estado físico dos materiais, destacando aqui a evaporação.

Dedução da lei dos gases

Imagine uma caixa cúbica de lado ${\displaystyle L}$ contendo ${\displaystyle N}$ moléculas de um gás dentro dela. Considere o gás como ideal (não há interações moleculares) e, num primeiro momento, analise apenas uma molécula desse gás, onde ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ são respectivamente a massa e a velocidade da molécula. Essa molécula realiza apenas colisões elásticas com as paredes (a energia do sistema é conservada e a cada colisão apenas uma componente da velocidade é alterada). Nesse caso, a cada colisão, teremos uma variação de momento dado por:

${\displaystyle \Delta \,{\vec {p}}_{x}=-2m{\vec {v}}_{x}\,\!}$

x

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A molécula então, choca-se várias vezes com uma certa parede, sendo que ${\displaystyle \Delta \,t}$ é o intervalo de tempo para que a molécula consiga se deslocar até a parede oposta e voltar para a parede em questão, ou seja, percorrer uma distância de ${\displaystyle 2L}$. Nesse caso, o intervalo de tempo é igual a distância percorrida dividida pela velocidade.

${\displaystyle {\frac {\Delta \,{\vec {p}}_{x}}{\Delta t}}={\frac {2m{\vec {v}}_{x}}{\frac {2L}{{\vec {v}}_{x}}}}={\frac {m({\vec {v}}_{x})^{2}}{L}}}$

x

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Da segunda lei de Newton, sabemos que a força é a derivada do momento em relação ao tempo. Nesse caso, a força que é transferida para a parede é igual a soma da contribuição do momento de cada molécula, levando em conta a que elas podem ter velocidades diferentes. Sabemos que a pressão ${\displaystyle P}$ é igual a força ${\displaystyle {\vec {F}}}$ dividida pela área da parede ${\displaystyle L^{2}}$. Assim usando a equação anterior, temos que o somatório das ${\displaystyle N}$ moléculas será:

${\displaystyle P={\frac {{\vec {F}}_{x}}{L^{2}}}={\frac {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}{L^{2}}}={\frac {{\frac {m({\vec {v}}_{x1})^{2}}{L}}+{\frac {m({\vec {v}}_{x2})^{2}}{L}}+\cdots +{\frac {m({\vec {v}}_{xN})^{2}}{L}}}{L^{2}}}={\frac {m}{L^{3}}}\sum _{i=1}^{N}({\vec {v}}_{xi)^{2}}}$

x

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Sendo ${\displaystyle {N}_{a}}$ a constante de Avogadro, podemos fazer a substituição ${\displaystyle N=n{N}_{a}}$. O somatório então pode ser visto como ${\displaystyle n{N}_{a}{\vec {v^{2}}}_{xmed}}$, onde ${\displaystyle {\vec {v^{2}}}_{xmed}}$ é o valor médio do quadrado da componente x da velocidade de todas as moléculas:

${\displaystyle P={\frac {nm{N}_{a}}{L^{3}}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}}$

x

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Além disso, ${\displaystyle m{N}_{a}}$ é igual a massa molar ${\displaystyle M}$ do gás e ${\displaystyle L^{3}}$ é igual ao volume do gás.

${\displaystyle P={\frac {nM}{V}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}}$

x

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Podemos pensar agora, que para qualquer molécula ${\displaystyle {\vec {v^{2}}}={v^{2}}_{x}+{v^{2}}_{y}+{v^{2}}_{z}}$. Isso é válido pois como possuimos muitas moléculas e elas se movem em direções aleatórias os valores médios dos quadrados das componentes da velocidade são iguais, de modo que :${\displaystyle {\vec {v}}_{x}={\frac {1}{3}}{\vec {v}}}$ e então:

${\displaystyle P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{med}}{3V}}}$

x

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Substituímos então ${\displaystyle {\vec {v^{2}}}_{med}}$ pela velocidade quadrática média, definida como ${\displaystyle {\vec {v}}_{rms}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}}$, 

x

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onde ${\displaystyle R}$ é a constante universal dos gases e ${\displaystyle T}$ é a temperatura.

${\displaystyle P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{rms}}{3V}}={\frac {nM\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,\right)^{2}}{3V}}}$

x

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Isolando ${\displaystyle PV}$ é fácil ver que a lei de um gás ideal é então:

${\displaystyle P\cdot V=n\cdot R\cdot T\,\!}$

onde:${\displaystyle P}$ é a pressão, ${\displaystyle V}$ é o volume, ${\displaystyle n}$ é o número de mols, ${\displaystyle R}$ é a constante universal dos gases perfeitos e ${\displaystyle T}$ a temperatura.^[1]

Transições de fase

As transições de fase dependem diretamente das forças intermoleculares (que são de natureza elétrica). A módulo da força de atração é o que determina em que fase a amostra se encontra. Na fase gasosa, as moléculas estão muito separadas e com uma energia cinética quadrática média muito alta, logo as forças de atração são fracas. Na fase líquida e sólida, diminuí-se o espaço entre as moléculas, logo tem-se um aumento das interações de atração, o que faz com que as moléculas se movam cada vez menos diminuindo sua energia cinética.

Segundo o teorema da equipartição da energia, a temperatura é proporcional à energia média de cada grau de liberdade, logo aumentando a temperatura (e mantendo a pressão constante), aumentamos a energia cinética da amostra, o que favorece o afastamento das moléculas. Esse aumento nos módulos das velocidades é similar a distribuição de Maxwell, logo conseguimos inferir sobre a evaporação através dessa distribuição.

Evaporação

Considere uma molécula que está com uma energia cinética maior do que a energia da tensão superficial do líquido ao qual faz parte. Nesse caso, ao chegar próximo a superfície do líquido, ela irá escapar e nesse caso, diminuir a energia cinética média do sistema, ou seja, o sistema irá perder temperatura em decorrência da evaporação. Pela distribuição de Maxwell, temos moléculas com velocidades de zero a infinito independentemente da temperatura do sistema, logo a evaporação sempre existirá. Contudo, se aumentarmos a energia cinética quadrática média, aumentaremos a probabilidade de encontrarmos moléculas com energia suficiente e a direção correta para escapar do líquido.^[2]

Transferência de calor

Um processo similar pode explicar a troca de calor entre dois corpos. Imagine um corpo A quente e um corpo B frio. Colocando as duas superfícies em contato, as moléculas da superfície de A colidirão com as moléculas da superfície de B, transmitindo energia, valendo a recíproca. Como a energia cinética quadrática média em A é maior, é plausível pensarmos que as moléculas de A cederão energia para as moléculas de B, e nesse processo A esfrie enquanto B aquece. O ar é um bom isolante térmico pois sendo um gás contém poucas moléculas em comparação com os outros estados físicos, logo a taxa de transferência de energia é menor (considerando um sistema sem convecção).

História

Folha de rosto da edição de 1738 de Hydrodynamica

Em 1738, o físico e matemático holandês Daniel Bernoulli publicou Hydrodynamica que estabeleceu a base da teoria cinética dos gases. Em seu trabalho, Bernoulli postulou o argumento, ainda utilizado nos dias de hoje, que afirma que a energia cinética das colisões moleculares dos gases (constituídos de um grande número de moléculas que se movem em todas as direções), é a pressão do gás que sentimos, e o que experimentamos como o calor também é energia cinética do movimento molecular.

Em 1859, depois de ler um artigo sobre difusão das moléculas de Rudolf Clausius, o físico escocês James Clerk Maxwell formulou a distribuição de Maxwell para velocidades moleculares, que mostra a proporção de moléculas com uma certa velocidade em um certo espaço. Esta foi a primeira utilização da estatística na física.^[3] Cinco anos mais tarde, em 1864, Ludwig Boltzmann, um jovem estudante de Viena, utilizou os artigos de Maxwell como inspiração para desenvolver um tema adicional, durante sua vida.

Assim, os fundamentos da termodinâmica estatística foram estabelecidas no final de 1800 por aqueles que, como Maxwell, Boltzmann, Max Planck , Clausius, e Josiah Willard Gibbs , começaram a aplicar estatística na teoria quântica atômica para corpos de gases ideais. Predominantemente, no entanto, foram Maxwell e Boltzmann, trabalhando de forma independente, que chegaram a conclusões semelhantes quanto à natureza estatística dos corpos gasosos. No entanto, deve-se considerar Boltzmann como o "pai" da termodinâmica estatística com sua derivação em 1875 da relação entre entropia S e multiplicidade Ω, apresentando o número de arranjos microscópicos que produzem o mesmo estado macroscópico para um determinado sistema.^[4]

Ludwig Boltzmann então publicou em 1896 o artigo Lectures on Gas Theory.^[5] contendo mais de 2000 páginas interpretando termodinâmica estatística e os seguintes fatores H-teorema, teoria do transporte, equilíbrio térmico, e equação de estado dos gases. O termo "termodinâmica estatística" foi proposto para utilização na termodinâmica pelo físico e químico americano J. Willard Gibbs em 1902. Segundo Gibbs, o termo "estatística", i.e. mecânica estatística, foi usado pela primeira vez pelo físico escocês James Clerk Maxwell em 1871. "Mecânica probabilística" pode parecer um termo mais apropriado, mas hoje em dia, "mecânica estatística" está firmemente enraizada.^[6]

Introdução

O problema essencial na termodinâmica estatística é o de calcular a distribuição de uma dada quantidade de energia E em relação aos N sistemas.^[7] Enquanto que seu objetivo se foca em compreender e interpretar as propriedades macroscópicas dos materiais em termos das propriedades das suas partículas constituintes e das interações entre elas. Isso se dá através da ligação entre funções termodinâmicas e as equações da mecânica quântica. Três quantidades centrais em termodinâmica estatística são o teorema do limite central o fator de Boltzmann e a função de partição.

A definição mais importante de um sistema termodinâmico é a perspectiva da chamada interpretação estatística da entropia, que é definida como:

${\displaystyle S=k_{B}\ln \Omega \!}$

x

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onde k_B é constante de Boltzmann 1.38066×10⁻²³ J K⁻¹ e Ω é o número de microestados correspondentes à observação do macroestado.

Esta equação só é válida se cada microestado é igualmente acessível (cada microestado tem igual probabilidade de ocorrência).

Distribuição de Boltzmann

Se um sistema for grande podemos utilizar a distribuição de Boltzmann, que é um resultado aproximado dado por:

${\displaystyle n_{i}\propto \exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right),\,}$

x

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onde n_i representa o número de partículas ocupando um estado de energia i ou o número de microestados ocupando o macroestado i; U_i é a energia potencial do estado i; T é a temperatura; e k_B é a constante de Boltzmann.

Se N é o número total de partículas ou microestados, a função distribuição densidade de probabilidade segue:

${\displaystyle \rho _{i}\equiv {\frac {n_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right)}{\sum _{j}\exp \left(-{\frac {U_{j}}{k_{B}T}}\right)}},}$

x

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onde o denominador é a soma de todos os níveis.

Postulado fundamental

O postulado fundamental em termodinâmica estatística é o seguinte:

Dado um sistema isolado em equilíbrio, o sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer um de seus microestados acessíveis.

Este postulado é um pressuposto fundamental na mecânica estatística - afirma que um sistema em equilíbrio não tem qualquer preferência por qualquer um de seus microestados disponíveis. Dado Ω microestados com um certo nível de energia, a probabilidade de encontrar o sistema micro em particular é p = 1/Ω.

Este postulado é necessário porque permite concluir que, para um sistema em equilíbrio, o estado termodinâmico (macroestado), que pode resultar do maior número de microestados é também o macroestado mais provável do sistema.

O postulado é justificado em partes (para um sistema clássico) pelo Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana)), visto que, se a distribuição dos pontos do sistema através do espaço fásico é uniforme em algum momento, ele permanecerá assim em momentos posteriores.

Isso permite a definição da função de informação (no contexto da teoria da informação):

${\displaystyle I=-\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle -\ln \rho \rangle .}$

x

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Quando todas as probabilidades ρ_i são iguais, I é máximo, e nós possuímos o mínimo de informações sobre o sistema. Logo, em um sistema isolado em equilíbrio, a entropia é máxima (entropia pode ser considerada como uma medida da desordem: uma maior desordem, maior desinformação e, portanto, um valor inferior de I.

Esta função de informação é a mesma que a função entropia reduzida em termodinâmica..

Mark Srednicki argumentou que o postulado fundamental pode ser derivado, assumindo apenas que a conjectura de Berry (em homenagem a Michael Berry ) aplica-se ao sistema em questão.^[8][9] A conjectura de Berry é apenas para sistemas caóticos, e quando os autoestados tem sua energia distribuída como uma distribuição normal. Como todos os sistemas realistas tem um punhado de graus de liberdade então estes deverão ser caótico, o que converge para o postulado fundamental. A conjectura de Berry também tem sido demonstrada na teoria da informação pelo princípio do viés.^[10]

Ensembles canônicos

A formulação moderna desta teoria é baseada na descrição de um sistema físico ter um elenco de comum de estados representando todas as configurações possíveis e as probabilidades de ocorrência de cada uma das configurações.

Cada estado está associado a uma função de partição , por manipulações matemáticas, para que então se extraia os valores termodinâmicos do sistema. De acordo com a relação do sistema com o resto do universo, são normalmente identificados três tipos de estados, em ordem crescente de complexidade:

• Ensemble microcanônico descreve um estado completamente isolado, que possui uma energia constante, não trocando energia ou partículas com o resto do Universo;
• Ensemble canônico descreve um sistema em equilíbrio térmico que só pode trocar energia como a transferência de calor para o exterior;
• Ensemble grande canônico descreve sistemas abertos que permitem a troca de partículas com o exterior.

Resumo dos ensembles	Ensembles
	Ensemble microcanônico	Ensemble canônico	Ensemble grande canônico
Constantes	E, N, V	T, N, V	T, μ, V
Características microscópicas	Número de microestados ${\displaystyle \Omega }$	Função de partição canônica ${\displaystyle Z=\sum _{k}e^{-\beta E_{k}}}$	Grande função de partição canônica ${\displaystyle \Xi =\sum _{k}e^{-\beta (E_{k}-\mu N_{k})}}$
Funções macroscópicas	${\displaystyle S=k_{B}\ln \Omega }$	${\displaystyle F=-k_{B}T\ln Z}$	${\displaystyle F-\mu N=-k_{B}T\ln \Xi }$

x

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Passeios aleatórios

O estudo de uma cadeia longa polímeros tem sido uma fonte de problemas dentro dos domínios da mecânica estatística desde meados de 1950. Uma das razões pela qual os cientistas estavam interessados nesse estudo é que as equações que governam o comportamento de uma cadeia de polímeros são independentes da cadeia química. A equação governante acaba por ser um passeio aleatório no espaço. Com isso, a equação de Schrödinger é em si uma equação de difusão no tempo imaginário, t '= it.

Equação de difusão

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A equação da difusão é uma equação em derivadas parciais que descreve flutuações de densidade em um material que se difunde. É também usada para descrever processos exibindo um comportamento de difusão.

Equação

A equação é geralmente escrita como:^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D(\phi ,{\vec {r}})\nabla \phi ({\vec {r}},t))}$ .

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Nesta expressão ${\displaystyle \phi }$ é a densidade do material que difunde, ${\displaystyle t}$ é o tempo, e ${\displaystyle D}$ é o coeficiente de difusão coletivo, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ é a coordenada espacial e o símbolo nabla (∇) representa o vetor operador diferencial del. Se o coeficiente de difusão depende da densidade, então a equação não é linear; de outra maneira seria linear. Se D é constante, então a equação se reduz à seguinte equação linear:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t)}$ .

x

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Mais geralmente, quando D é uma matriz simétrico definida positiva, a equação descreve uma difusão anisótrica.

Dedução

A equação de difusão pode ser deduzida a partir da equação de continuidade. A mesma expressa que uma alteração na densidade em um sistema é devido a um fluxo em entrada ou a um fluxo em saída de material do sistema. Ou seja, não pode haver nem criação nem destruição de matéria.

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0}$ .

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Nesta expressão ${\displaystyle {\vec {j}}}$ é o fluxo de material que difunde. A equação de difusão pode ser obtida facilmente desta relação quando é combinada com a Lei de Fick, que assume que o fluxo do material que difunde em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local de densidade:

${\displaystyle {\vec {j}}=-D(\phi )\nabla \phi ({\vec {r}},t)}$.

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Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) ${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$

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Em física e teoria da probabilidade, a teoria de campo médio (TCM, também conhecida como teoria de campo autoconsistente) estuda o comportamento de grandes e complexos modelos estocásticos a partir de um modelo mais simples. Tais modelos consideram um grande número de pequenos componentes individuais que interagem entre eles. O efeito de todos os outros indivíduos em qualquer outro indivíduo é aproximado a um único efeito esperado, transformando um problema de muitos corpos em um problema de um só corpo.

A ideia de TCM apareceu primeiramente na física, no trabalho de Pierre Curie^[1] e Pierre Weiss para descrever transições de fase.^[2] Abordagens inspiradas por essas ideias tiveram aplicações em modelos epidêmicos,^[3] teoria das filas,^[4] performance de redes de computadores, teoria dos jogos^[5] e neuromatemática.^[6]

Um problema de muitos corpos com interações é geralmente difícil de resolver com precisão, a não ser em casos extremamente simples (teoria do campo aleatório, 1D modelo Ising. O sistema de n-corpos é substituído por um problema com 1-corpo com a seleção de um bom campo externo. O campo externo substitui a interação de todas as outras partículas por uma partícula arbitrária. A grande dificuldade (por exemplo, quando se computa a função de partição do sistema) é o tratamento de combinatória gerada pelos termos da interação da mecânica hamiltoniana quando se soma o conjunto dos estados. O objetivo da TCM é resolver esse problemas de combinatória.

O objetivo da TCM é substituir todas as interações por um corpo com uma interação média ou efetiva, às vezes chamada "campo molecular". ^[7] Isso reduz problemas de muitos corpos a problemas de um só corpo, assim resolver questões de TCM quer dizer que é possível entender o comportamento de um sistema a um custo relativamente baixo.

Na teoria clássica de campos, o hamiltoniano pode ser expandido como magnitude das flutuações em torno da média do campo. Nesse contexto, a TCM pode ser vista como a "ordem zero" da expansão do hamiltoniano nas flutuações. Fisicamente, isso significa que um sistema de TCM não tem flutuações, o que coincide com a ideia de que se está substituindo todas as interações por um "campo médio". Muitas vezes, no formalismo das flutuações, a TCM oferece um ponto de partida interessante para estudar flutuações de primeira e segunda ordem.

Em geral, a dimensionalidade tem um papel importante em determinar se uma abordagem de campo médio vai funcionar para um certo tipo de problema. Em TCM, muitas interações são substituídas por uma interação efetiva. Segue-se naturalmente que, se o campo ou partícula apresenta muitas interações no sistema original, a TCM vai ser mais precisa para esse sistema. Isso é verdade em casos de alta dimensionalidade ou quando o hamiltoniano envolve forças de longo alcance. O critério Ginzburg é a expressão formal de validade da TCM.

Abordagem formal

A base formal da teoria de campo médio é a desigualdade Bogoliubov. Essa desigualdade estabelece que a energia livre de uma sistema com hamiltoniano

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}}$

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tem o seguinte limite superior:

${\displaystyle F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}}$

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onde ${\displaystyle S_{0}}$ é a entropia e onde a média é tomada do equilíbrio do conjunto da referência do sistema com hamiltoniano ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$. No caso especial em que o hamiltoniano de referência é o de um sistema sem interação, então

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)}$

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onde ${\displaystyle \left(\xi _{i}\right)}$ é uma expressão dos graus de liberdade dos componentes individuais no sistema estatístico (átomos, spin e assim por diante). Pode-se considerar então afinar o limite superior ao minimizar o lado direito da desigualdade. O sistema mínimo de referência é a "melhor" aproximação ao sistema verdadeiro, usando graus de liberdade não correlatos e é chamado de "aproximação de campo médio".

Para o caso mais comum em que o hamiltoniano visado tem apenas interações entre pares, por exemplo,

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)}$

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onde ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ é o conjunto de pares que interagem, o procedimento de minimização pode ser feito formalmente. Defina ${\displaystyle {\rm {Tr}}_{i}f(\xi _{i})}$ como a soma geral de ${\displaystyle f}$ obersvável sobre os graus de liberdade dos graus de liberdade do componente único (soma para variáveis discretas, integrais para as contínuas). A energia livre aproximada é dada por

${\displaystyle F_{0}=\,\!}$	${\displaystyle {\rm {Tr}}_{1,2,..,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}$
	${\displaystyle +kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}$

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onde ${\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}$ é a probabilidade de achar o sistema de referência no estado especificado pelas variáveis ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}$. A probabilidade é dada pelo fator Boltzmann

${\displaystyle P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})}$

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onde ${\displaystyle Z_{0}}$ é a função de partição. Então,

${\displaystyle F_{0}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}{\rm {Tr}}_{i,j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})+kT\sum _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).}$

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Para minimizar, pode-se tomar a derivativa com relação às probabilidades de um grau de liberdade ${\displaystyle P_{0}^{(i)}}$ usando multiplicadores de Lagrange para garantir a normalização. O resultado final é o conjunto de equações autoconsistentes

${\displaystyle P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N}$

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onde o campo médio é dado por

${\displaystyle h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j|(i,j)\in {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr}}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}$

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Aplicações

A teoria de campo médio pode ser aplicada a vários sistemas físicos, por exemplo para o estudo de fenômenos como a transição de fase. ^[8]

Modelo Ising

Considere o modelo Ising em látice cúbico de dimensão ${\displaystyle d}$. O hamiltoniano é dado por

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i}}$

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onde ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ indica a soma do par dos vizinhos mais próximos ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$, e ${\displaystyle s_{i}=\pm 1}$ e ${\displaystyle s_{j}}$ são spins vizinhos.

Transforme-se o spin variável ao introduzir a flutuação a partir de seu valor médio ${\displaystyle m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle }$. Pode-se reescrever o hamiltoniano:

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i}}$

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onde se define ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}}$; isso é a "flutuação" do spin. Ao expandir o lado direito, obtém-se um termo que é inteiramente dependente dos valores médios dos spins e independente das configurações dos spins. Trata-se do termo trivial, que não afeta as propriedades estatísticas do sistema. O próximo termo envolve o produto do valor médio do spin e o valor de flutuação. Por fim, o último termo diz respeito ao produto de dois valores de flutuação.

A aproximação de campo médio consiste em deixar de lado esse termo de flutuação de segunda ordem. Essas flutuações são reforçadas em baixas dimensões, tornando o TCM uma aproximação melhor para dimensões altas.

${\displaystyle H\approx H^{MF}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}}$

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De novo, a adição pode ser expandida. Ademais, espera-se que o valor médio de cada spin seja dependente localmente, na medida em que a cadeia Ising é invariante translacionalmente. Isso faz com que

${\displaystyle H^{MF}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\sum _{i}s_{i}}$

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A adição sobre spins vizinhos pode ser reescrita como ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}}$ onde ${\displaystyle nn(i)}$ signifa o vizinho mais próximo de ${\displaystyle i}$ e o fator ${\displaystyle 1/2}$ evita a dupla contagem, já que cada ponto participa de dois spins. A simplificação leva à expressão final

${\displaystyle H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\sum _{i}s_{i}}$

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onde ${\displaystyle z}$ é o número de coordenação. Nesse ponto, o hamiltoniano de Ising foi dividido em uma soma de hamiltonianos de um só corpo com um "campo médio efetivo" ${\displaystyle h^{\mathrm {eff} }=h+Jzm}$ que é a soma do campo externo ${\displaystyle h}$ e do campo médio induzido pelos spins vizinhos. Vale notar que esse campo médio depende diretamente do número de vizinhos mais próximos e, por isso, na dimensão do sistema (por exemplo, no caso de uma dimensão de látice hipercúbica ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle z=2d}$).

Ao substituir o hamiltoniano em uma função de partição e solucionando o problema de 1D efetivo, obtém-se

${\displaystyle Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right]^{N}}$

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onde ${\displaystyle N}$ é o número de locais de látice. Trata-se de uma expressão fechada e exata para a função de partição do sistema. Obtém-se a energia livre do sistema e calcula-se os exponentes críticos. Em especial, pode-se obter a magnetização ${\displaystyle m}$ como uma função de ${\displaystyle h^{\mathrm {eff} }}$.

Tem-se então duas equações entre ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle h^{\mathrm {eff} }}$, permitindo determinar ${\displaystyle m}$ como uma função da temperatura. Isso leva à observação seguinte:

• para temperaturas maiores do que certo valor ${\displaystyle T_{c}}$, a única solução é ${\displaystyle m=0}$. O sistema é paramagnético.
• para ${\displaystyle T<T_{c}}$, há duas soluções diferentes de zero: ${\displaystyle m=\pm m_{0}}$. O sistema é ferromagnético.

${\displaystyle T_{c}}$ é dado pela relação seguinte: ${\displaystyle T_{c}={\frac {Jz}{k_{B}}}}$. Isso mostra que a TCM pode corresponder à transição de fase ferromagnética.

A física estatística é o ramo da física que usa métodos da teoria das probabilidades e estatística e, particularmente, as ferramentas matemáticas para lidar com grandes populações e aproximações, na solução de problemas físicos. Pode descrever uma grande variedade de campos com uma natureza inerentemente estocástica. Suas aplicações incluem muitos problemas nos campos da física, biologia, química, neurologia e até mesmo em algumas ciências sociais, como a sociologia. Seu principal objetivo é esclarecer as propriedades da matéria sob conjuntos, em termos de leis físicas que regem o movimento atômico.^[1]

Em particular, a mecânica estatística desenvolve os resultados fenomenológicos da termodinâmica a partir de uma análise probabilística dos sistemas de base microscópica. Historicamente, um dos primeiros tópicos da física onde foram aplicados métodos estatísticos foi o campo da mecânica, que se preocupa com o movimento de partículas ou objetos quando submetidos a uma força.

Mecânica estatística

Ver artigo principal: Mecânica estatística

A mecânica estatística fornece um quadro que relaciona as propriedades microscópicas de átomos e moléculas com as propriedades macroscópicas ou extensivas de materiais que podem ser observados na vida cotidiana. Portanto, ela explica a termodinâmica como um resultado natural da estatística, mecânica clássica e mecânica quântica ao nível microscópico. Por causa desta história, a física estatística é muitas vezes considerada como sinônimo de mecânica estatística ou termodinâmica estatística.

Uma das equações mais importantes da mecânica estatística (análogo à F = ma em mecânica, ou a equação de Schrödinger na mecânica quântica) é a definição da função de partição Z, que é essencialmente uma soma ponderada de todos os possíveis estados q disponíveis para um sistema .

${\displaystyle Z=\sum _{q}{\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}}$

onde ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e E(q) é a energia do estado q. Além disso, a probabilidade de um determinado estado q ocorrer é dada por

${\displaystyle P(q)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}{Z}}}$

Aqui, vemos que os estados de energia muito alta têm pouca probabilidade de ocorrência, um resultado que é consistente com a intuição.

A abordagem estatística pode funcionar bem em sistemas clássicos quando o número de graus de liberdade (e assim o número de variáveis​​) é tão grande que a solução exata não é possível, ou não é realmente útil. A mecânica estatística também pode descrever o trabalho na dinâmica não-linear, teoria do caos, física térmica, dinâmica dos fluidos (particularmente nos números de Knudsen elevados) e física de plasmas.

Embora alguns problemas em física estatística possam ser resolvidos analiticamente por meio de aproximações e expansões, as pesquisas mais atuais utilizam o poder de processamento de computadores modernos para simular ou aproximar soluções. Uma abordagem comum para problemas estatísticos é usar uma simulação de Monte Carlo para produzir uma ideia da dinâmica de um sistema complexo.

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Espaço de fases em mecânica quântica

Uma das características distintas da mecânica quântica é que o estado físico de um sistema não determina o resultado de qualquer medida que possa fazer-se sobre ele. Em termos mais simples, o resultado de uma medida sobre dois sistemas quânticos que tenham o mesmo estado físico nem sempre resulta nos mesmos resultados. Assim uma teoria como a mecânica quântica que trata de descrever a evolução temporal dos sistemas físicos só pode prever a probabilidade de que ao medir uma determinada grandeza física se obtenha determinado valor. Isto quer dizer que a mecânica quântica realmente é uma teoria que explica como varia a distribuição de probabilidade das possíveis medidas de um sistema (entre duas medições consecutivas, já que no instante da medida se produz um colapso da função de onda aleatório).

O estado quântico de um sistema pelas razões anteriormente expostas não se parece em nada ao estado clássico de uma partícula ou um sistema de partículas. De fato o estado quântico de um sistema é representável mediante uma função de onda:

$${\displaystyle \Phi \in L_{\mu }^{2}(\Gamma )}$$

A relação mais próxima entre espaço fásico e função de onda é que o quadrado do módulo da função de onda está relacionado com uma distribuição de probabilidade definida sobre o espaço fásico. Isto significa que, para construir o conjunto de estados quânticos ou espaço de Hilbert de certos sistemas quânticos, pode considerar-se inicialmente o espaço fásico que se usaria em sua descrição clássica e considerar o conjunto de funções de quadrado integrável sobre o espaço fásico, a este tipo de procedimento se conhece como quantização.

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uma breve filosofia da matemática.

os números 3, 6 e 9 tem resultados em divisões, com números sequenciais e infinitos.

os números 2, 4, 5, 8. tem resultados infinitos e finitos em divisões, em algumas condições são sequenciais e outras não.

o número 7, é um número excludente, ou seja, tem característica só dele.

nunca segue sequências de números que se tem divisões por ele.

sobre os catetos e a hipotenusa.

o teorema de Pitágoras só é válido em uma única e exclusiva formação de ângulos e lados.

que é o quadrado ou cubo de 3, 4 = a hipotenusa = a 5.

outras formações são multiplicações destes lados.

como:

 2 x [ 3, 4, 5] ao quadrado.

ou outro número qualquer multipicação por esta formação de lados.